이산 웨이블릿 변환

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1. 개요

이산 웨이블릿 변환(DWT)은 신호 처리, 이미지 처리, 데이터 압축 등 다양한 분야에서 사용되는 수학적 변환 기법이다. DWT는 신호를 서로 다른 주파수 성분으로 분해하여 시간과 주파수 정보를 동시에 제공하며, 계산 효율성이 높고 다중 해상도 분석이 가능하다는 특징을 가진다. 하르 웨이블릿은 가장 간단한 형태의 DWT이며, 도비시 웨이블릿, 이중 트리 복소 웨이블릿 변환 등 다양한 종류가 존재한다. DWT는 고속 푸리에 변환(FFT)의 대안으로 사용될 수 있으며, 신호 코딩, 데이터 압축, 이미지 처리, 디지털 통신 등 다양한 응용 분야에서 활용된다.

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이산 웨이블릿 변환
개요
종류	변환
분야	수학, 신호 처리
특징
관련 변환	웨이블릿 변환, 푸리에 변환
이산 신호 처리	시간 및 주파수 분석을 위한 도구
다해상도 분석	신호를 다른 주파수 대역으로 분해
필터 뱅크	이산 웨이블릿 변환 구현에 사용
활용
응용 분야	신호 압축 이미지 압축 소음 제거 특징 추출
알고리즘
일반적인 알고리즘	Mallat 알고리즘
필터	Haar 웨이블릿, Daubechies 웨이블릿
기타
관련 개념	직교성, 완전 재구성

2. 역사

최초의 이산 웨이블릿 변환은 헝가리 수학자 알프레드 하르가 제시했다. 1988년 벨기에 수학자 잉그리드 도브시는 이전 스케일의 2배 해상도를 갖는 점화식을 사용하여 가장 밀집하게 샘플링된 마더 웨이블릿을 생성하는 방법을 증명하였다. 그녀의 강의 자료에는 도브시 웨이블릿이라 불리는 웨이블릿 패밀리가 제공되며, 그중 가장 오래된 웨이블릿은 하르 웨이블릿이다. 이후 이를 기반으로 한 많은 웨이블릿이 개발되었다.^[1]

이산 웨이블릿 변환의 또 다른 표현으로는 다운 샘플링이 없는 이산 웨이블릿 변환, 웨이블릿 패킷 분해, 복소 웨이블릿 변환 등이 있다.

이산 웨이블릿 변환은 과학, 공학, 수학, 컴퓨터 과학 등 다양한 분야에서 활용된다. 특히 신호 부호화나 데이터 압축 등에 사용되며, 이미지 압축의 경우 모스키토 노이즈가 이론상 거의 발생하지 않아 JPEG 2000의 알고리즘에 채택되었다.^[1]

2. 1. 하르 웨이블릿

최초의 이산 웨이블릿 변환(DWT)은 헝가리 수학자 알프레드 하르가 발명했다. 하르 웨이블릿 변환은

2^n

개의 숫자로 표현되는 입력을 쌍으로 묶어 차이를 저장하고 합을 전달한다. 이 과정은 재귀적으로 반복되며, 합을 쌍으로 묶어 다음 스케일을 계산하는데, 이는

2^n-1

개의 차이와 최종 합으로 이어진다.^[1]

하르 웨이블릿에 의한 다중 해상도 분석은

2^n

의 길이를 가진 수열이 입력되면, 인접한 값의 차분과 합을 구하는 것이다. 이 처리는 재귀적으로 수행되며, 합의 수열은 다음 처리의 입력이 된다. 최종적으로는,

2^n-1

의 차분 값과 하나의 합 값을 얻는다.^[1]

이러한 단순한 이산 웨이블릿 변환은 웨이블릿의 일반적인 특성을 보여준다. 다중 해상도 분석의 계산량은

O(n)

이다. 또한, 이 변환은 시간 및 주파수의 두 가지 특성을 모두 파악할 수 있는데, 이는 고속 푸리에 변환과 비교했을 때 다중 해상도 분석의 큰 특징이다.^[1]

2. 2. 도브시 웨이블릿

가장 일반적인 이산 웨이블릿 변환 집합은 1988년 벨기에 수학자 잉그리드 도브시에 의해 공식화되었다. 이 공식은 암묵적인 모(母) 웨이블릿 함수의 점진적으로 미세한 이산 샘플링을 생성하기 위해 점화 관계를 사용하는 것을 기반으로 하며, 각 해상도는 이전 스케일의 두 배이다. 그녀의 획기적인 논문에서 도브시는 웨이블릿의 한 집합을 도출했는데, 그 첫 번째가 하르 웨이블릿이다. 그 이후 이 분야에 대한 관심이 폭발적으로 증가했으며, 도브시의 원래 웨이블릿의 많은 변형이 개발되었다.^[1]^[2]^[3]

1988년 벨기에 수학자 잉그리드 도브시는 해상도가 이전 스케일의 2배가 되어가는 점화식을 이용하여 가장 밀집하게 샘플링된 마더 웨이블릿을 생성하는 방법을 증명하였다. 그녀의 강의 자료에는, Daubechies wavelet|도브시 웨이블릿^영어라고 불리는 웨이블릿 패밀리가 제공되고 있으며, 그중 가장 오래된 웨이블릿은 하르 웨이블릿이다. 이후, 이를 기반으로 한 많은 웨이블릿이 개발되었다.

2. 3. 기타 웨이블릿

이중 트리 복소 웨이블릿 변환(

\mathbb{C}

WT)은 이산 웨이블릿 변환(DWT)의 개선된 형태로, 거의 이동 불변이며, 2차원 및 고차원에서 방향 선택적이라는 특징을 갖는다.^[4] 이는 중복도 2^d로 달성되며, 이는 언데시메이트 DWT보다 상당히 낮다. 다차원(M-D) 이중 트리

\mathbb{C}

WT는 분리 불가능하지만, 계산 효율적인 분리 가능한 필터 뱅크(FB)를 기반으로 한다.^[4]

이산 웨이블릿 변환에는 JPEG 2000 또는 JPEG XS에 사용되는 Le Gall–Tabatabai (LGT) 5/3 웨이블릿,^[5]^[6]^[7] 알리 나시 아칸수(Ali Naci Akansu)가 개발한 이항 QMF,^[8] 계층적 트리 분할 집합 (SPIHT) 알고리즘,^[9] 비감소 웨이블릿 변환 (다운샘플링이 생략됨), 뉴랜드 변환, 웨이블릿 패킷 변환, 복소 웨이블릿 변환 등 다양한 형태가 있다.

3. 속성

이산 웨이블릿 변환(DWT)은 몇 가지 바람직한 속성을 가지고 있다. 첫째, 선형 시간 안에 수행될 수 있어 계산 효율성이 높다. 계산 복잡도는 $O(n)$ 이다. 둘째, 시간과 주파수 정보를 모두 포착하여 다중 해상도 분석이 가능하다. 즉, 입력 신호의 주파수 성분뿐만 아니라 해당 성분이 나타나는 시간 정보도 얻을 수 있다. 이러한 특성 덕분에 고속 웨이블릿 변환(FWT)은 고속 푸리에 변환(FFT)의 대안으로 사용될 수 있다.^[10]

3. 1. 시간 불변성 문제

필터 뱅크의 비율 변경 연산자 때문에 이산 웨이블릿 변환(discrete WT)은 시간 불변이 아니며 실제로 신호의 시간 정렬에 매우 민감하다. 웨이블릿 변환의 시변 문제를 해결하기 위해 말랫(Mallat)과 중(Zhong)은 시간 이동에 불변인 신호의 웨이블릿 표현을 위한 새로운 알고리즘을 제안했다.^[10] TI-DWT라고 불리는 이 알고리즘에 따르면, 스케일 매개변수만 2^j (j∈Z)의 이진 시퀀스를 따라 샘플링되고 웨이블릿 변환은 시간의 각 지점에 대해 계산된다.^[11]^[12]

4. 응용

이산 웨이블릿 변환(DWT)은 과학, 공학, 수학, 컴퓨터 과학 등 다양한 분야에서 활용된다. 특히, 신호 코딩 및 데이터 압축에 사용된다.^[13]^[14] 이미지 처리, 디지털 통신 등에서 응용 사례를 찾아볼 수 있다.^[15]^[16]^[17]^[18]^[19]

최초의 DWT는 헝가리 수학자 알프레드 하르가 제시한 하르 웨이블릿이다. 하르 웨이블릿은 인접한 값의 차분과 합을 구하는 방식으로 다중 해상도 분석을 수행하며, 계산량이 $O(n)$ 이고 시간 및 주파수 특성을 모두 파악할 수 있다는 장점이 있다.

가장 일반적인 DWT는 벨기에 수학자 잉그리드 도브시가 1988년에 증명한 도브시 웨이블릿이다. 도브시 웨이블릿은 해상도가 이전 스케일의 2배가 되는 점화식을 기반으로 생성되며, 이를 기반으로 다양한 웨이블릿이 개발되었다.

4. 1. 신호 코딩 및 데이터 압축

이산 웨이블릿 변환(DWT)은 신호 코딩에 사용되어 중복된 정보를 제거하고 효율적인 데이터 압축 표현을 가능하게 한다.^[13]^[14] 실질적인 응용 분야는 보행 분석을 위한 가속도 신호 처리, 이미지 처리,^[15]^[16] 디지털 통신 등에서 찾아볼 수 있다.^[17]^[18]^[19]

저전력 심장 박동기 설계 및 초광대역(UWB) 무선 통신을 위한 아날로그 필터 뱅크로도 성공적으로 구현되었다.^[20]

4. 2. 이미지 처리

이산 웨이블릿 변환(DWT)은 이미지 처리 분야에서 노이즈 제거, 특징 추출, 이미지 압축 등 다양한 용도로 활용된다.^[15]^[16] 특히, JPEG 2000 표준은 DWT를 기반으로 하여 높은 압축률과 우수한 화질을 제공한다.^[5]^[6]^[7]

B.Prasanalakshmi는 DWT 기반 이미지 워터마킹에 대한 연구를 진행하였는데, 5단계 DWT 변환된 이미지에서 중간 주파수 계수 집합 LHx 및 HLx의 HL 주파수 서브 밴드를 사용하는 방법을 제안하였다.^[24] 이 알고리즘은 4x4 블록 기반 DCT를 적용하기 위해 가시성 및 견고성 측면에서 더 거친 수준의 DWT를 선택하여, 결과적으로 더 높은 가시성과 견고성을 얻을 수 있다. 또한, 워터마크 추출 전에 사전 필터링 작업, 샤프닝, 가우시안의 라플라시안(LoG) 필터링을 사용하여 워터마크 정보와 호스팅된 이미지 간의 차이를 증가시킨다.

2차원 이미지에 대한 DWT는 먼저 이미지를 하위 구성 요소 필터를 사용하여 수평 및 수직 채널을 중요하게 서브샘플링하여 고주파, 중간 주파수 및 저주파 하위 구성 요소(LL1, HL1, LH1, HH1)의 네 부분으로 분해한다. 여기서 HL1, LH1 및 HH1은 가장 세밀한 스케일의 웨이블릿 계수를 나타내며, LL1은 다시 분해되어 더 거친 스케일의 웨이블릿 구성 요소를 얻기 위해 중요하게 서브샘플링된다. 이 과정은 응용 프로그램에 따라 여러 번 반복된다.

고주파 구성 요소는 가장자리 정보를 포함하고 있으며, 사람의 눈은 가장자리 변화에 덜 민감하기 때문에 워터마크를 삽입하는 것으로 간주된다.

4. 3. 디지털 통신

이산 웨이블릿 변환은 디지털 통신 등에서 찾아볼 수 있다.^[17]^[18]^[19]

이산 웨이블릿 변환(스케일과 이동에서 이산적이며, 시간상에서 연속적)은 저전력 심장 박동기 설계 및 초광대역(UWB) 무선 통신을 위한 아날로그 필터 뱅크로 성공적으로 구현되었다.^[20] DCT-DWT를 사용한 워터마킹은 5단계 DWT 변환된 호스트 이미지의 중간 주파수 계수 집합의 웨이블릿 계수를 변경한 다음, 선택된 계수 집합에 DCT 변환을 적용한다. Prasanalakshmi B는 5단계 이산 웨이블릿 변환(DWT) 변환된 이미지에서 중간 주파수 계수 집합 LHx 및 HLx의 HL 주파수 서브 밴드를 사용하는 방법을 제안했다.^[24] 이 알고리즘은 4×4 블록 기반 DCT를 적용하기 위해 가시성 및 견고성 측면에서 더 거친 수준의 DWT를 선택하여, 결과적으로 더 높은 가시성과 견고성을 얻을 수 있다. 또한, 워터마크 추출 전에 사전 필터링 작업, 샤프닝, 가우시안의 라플라시안(LoG) 필터링이 사용되어 워터마크 정보와 호스팅된 이미지 간의 차이를 증가시킨다.

4. 4. 기타 응용

이산 웨이블릿 변환은 과학, 공학, 수학, 컴퓨터 과학 분야에서 매우 많은 응용 분야를 가지고 있다. 특히, 이산 신호를 더 중복되지 않은 형태로 나타내어 데이터 압축의 전처리 과정으로 사용되는 신호 코딩에 사용된다. 실질적인 응용 분야는 보행 분석을 위한 가속도 신호 처리,^[13]^[14] 이미지 처리,^[15]^[16] 디지털 통신 등에서 찾아볼 수 있다.^[17]^[18]^[19]

이산 웨이블릿 변환(스케일과 이동에서 이산적이며, 시간상에서 연속적)은 저전력 심장 박동기 설계 및 초광대역(UWB) 무선 통신을 위한 아날로그 필터 뱅크로 성공적으로 구현되었다.^[20]

5. 변환의 정의

이산 웨이블릿 변환(DWT)은 신호를 일련의 필터를 통과시켜 계산하는 방식이다. 신호는 저역 통과 필터와 고역 통과 필터를 통과하며, 이 두 필터는 서로 직교 미러 필터로 관련되어 있다.^[28]^[29]

보통 이산 웨이블릿 변환에는 연속 웨이블릿 변환의 해상도를 2배 간격으로 한 다음 형태가 사용된다.

: $d_k^{(j)} = 2^j \int_{ \mathbf{R} } f(t) \overline{ \psi(2^j t - k) } dt$

여기서 $\psi(t)$ 는 웨이블릿 함수이고, j와 k는 정수이다.

역 이산 웨이블릿 변환은 다음과 같다.

: $f(t) = \sum_j \sum_k d_k^{(j)} \psi(2^j t - k)$

하지만 실제로는 다중 해상도 분석이 주로 사용되며, Mathematica^[30]나 MATLAB^[31]과 같은 소프트웨어에서도 다중 해상도 분석을 이산 웨이블릿 변환이라고 부른다.

5. 1. 1단계 변환

신호

x

의 이산 웨이블릿 변환(DWT)은 일련의 필터를 통과시켜 계산된다. 먼저 샘플을 임펄스 응답

g

를 가진 저역 통과 필터를 통과시켜 두 신호의 컨볼루션을 얻는다.

:

y[n] = (x * g)[n] = \sum\limits_{k =  - \infty }^\infty  {x[k] g[n - k]}

또한 신호는 고역 통과 필터

h

를 사용하여 동시에 분해된다. 출력은 세부 계수(고역 통과 필터에서)와 근사 계수(저역 통과 필터에서)를 제공한다. 두 필터는 서로 관련되어 있으며 직교 미러 필터로 알려져 있다.

그러나 신호의 절반 주파수가 제거되었으므로 나이퀴스트 규칙에 따라 샘플의 절반을 폐기할 수 있다. 위의 다이어그램에서 저역 통과 필터

g

의 필터 출력은 2로 다운샘플링된다. 즉,

:

y_{\mathrm{low}} [n] = \sum\limits_{k =  - \infty }^\infty  {x[k] g[2 n - k]}

:

y_{\mathrm{high}} [n] = \sum\limits_{k =  - \infty }^\infty  {x[k] h[2 n - k]}

이 분해는 각 필터 출력의 절반만 신호를 특징짓기 때문에 시간 해상도를 절반으로 줄였다. 그러나 각 출력은 입력의 절반 주파수 대역을 가지므로 주파수 해상도가 두 배가 되었다.

다운샘플링 연산자

\downarrow

를 사용하면

:

(y \downarrow k)[n] = y[k n]

위의 합계를 보다 간결하게 쓸 수 있다.

:

y_{\mathrm{low}} = (x*g)\downarrow 2

:

y_{\mathrm{high}} = (x*h)\downarrow 2

그러나 완전한 컨볼루션

x*g

를 계산한 후 다운샘플링하면 계산 시간을 낭비하게 된다. 리프팅 기법은 이 두 계산을 인터리빙하는 최적화이다.

5. 2. 다단계 변환 (Cascading and Filter Banks)

이 분해는 주파수 분해능을 더욱 높이기 위해 반복되며, 근사 계수는 고역 통과 및 저역 통과 필터로 분해된 다음 다운샘플링된다. 이는 서로 다른 시간-주파수 국소화를 가진 노드를 가진 이진 트리로 표현된다. 이 트리는 필터 뱅크라고 알려져 있다.

위 다이어그램의 각 단계에서 신호는 저주파수와 고주파수로 분해된다. 분해 과정 때문에 입력 신호는

2^n

의 배수여야 하며, 여기서

n

은 레벨 수이다.

예를 들어, 32개의 샘플, 0에서

f_n

의 주파수 범위 및 3단계 분해를 갖는 신호는 4개의 출력 스케일이 생성된다.

레벨	주파수	샘플
3	$0$ to $f_n/8$	4
3	$f_n/8$ to $f_n/4$	4
2	$f_n/4$ to $f_n/2$	8
1	$f_n/2$ to $f_n$	16

5. 3. 모 웨이블릿과의 관계

웨이블릿의 필터뱅크 구현은 주어진 모(母) 웨이블릿

\psi(t)

에 대한 이산 자식 웨이블릿 집합의 웨이블릿 계수를 계산하는 것으로 해석할 수 있다.^[1]^[2]^[3] 이산 웨이블릿 변환에서 모 웨이블릿은 2의 거듭제곱만큼 이동하고 크기가 조정된다.

\psi_{j,k}(t)= \frac{1}{\sqrt{2^j}} \psi \left( \frac{t - k 2^j}{2^j} \right)

여기서

j

는 스케일 매개변수이고

k

는 이동 매개변수이며, 둘 다 정수이다.

길이

2^N

인 신호

x(t)

의 웨이블릿 계수

\gamma

는

x(t)

를 웨이블릿으로 투영한 것이다. 위의 이산 계열에서 자식 웨이블릿의 경우,

\gamma_{jk} = \int_{-\infty}^{\infty} x(t)  \frac{1}{\sqrt{2^j}} \psi \left( \frac{t - k 2^j}{2^j} \right) dt

이제

j

를 특정 스케일에 고정하여

\gamma_{jk}

가

k

만의 함수가 되도록 한다. 위의 식에서

\gamma_{jk}

는 모 웨이블릿의 확대, 반사 및 정규화된 버전인

h(t) =   \frac{1}{\sqrt{2^j}} \psi \left( \frac{-t}{2^j} \right)

와

x(t)

의 컨볼루션으로 볼 수 있으며, 이는

1, 2^j, 2\cdot{2^j}, ..., 2^{N}

지점에서 샘플링된다. 이것은 이산 웨이블릿 변환의 레벨

j

에서 세부 계수가 제공하는 것과 정확히 일치한다. 따라서

h[n]

과

g[n]

을 적절하게 선택하면 필터 뱅크의 세부 계수는 주어진 모 웨이블릿

\psi(t)

에 대한 이산 자식 웨이블릿 집합의 웨이블릿 계수에 정확히 해당한다.

예를 들어, 모 웨이블릿이

\psi = [1, -1]

인 이산 하르 웨이블릿을 고려해 보자. 이 웨이블릿의 확대, 반사 및 정규화된 버전은

h[n] = \frac{1}{\sqrt{2}} [-1, 1]

이며, 이는 실제로 이산 하르 웨이블릿 변환에 대한 고역 통과 분해 필터이다.

6. 시간 복잡도

이산 웨이블릿 변환(DWT)의 필터뱅크 구현은 O(''N'')의 시간 복잡도를 가지며, 이는 고속 푸리에 변환(FFT)의 O(''N'' log ''N'')에 비해 효율적이다.^[25]

$g[n]$ 과 $h[n]$ 이 모두 상수 길이(즉, 길이가 N에 의존하지 않음)를 가질 경우, $x * h$ 와 $x * g$ 각각은 O(''N'')의 시간이 걸린다. 웨이블릿 필터뱅크는 이 두 개의 O(''N'') 컨볼루션을 수행한 다음, 신호를 크기가 N/2인 두 개의 분기로 나눈다. 그러나 $g[n]$ 과 컨볼루션된 상위 분기만 재귀적으로 분할한다(하위 분기와 상위 분기 모두 재귀적으로 분할하는 FFT와는 대조적임). 이는 다음의 점화식으로 이어진다.^[25]

: $T(N) = 2N + T\left( \frac N 2 \right)$

이 점화식의 기하 급수 확장을 통해 전체 연산에 대한 O(''N'') 시간을 확인할 수 있다.^[25]

예를 들어, 이산 하르 웨이블릿 변환은 선형적이다. 이 경우 $h[n]$ 과 $g[n]$ 의 길이는 2로 일정하다.^[25]

: $h[n] = \left[\frac{-\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right] g[n] = \left[\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right]$

웨이블릿의 지역성과 O(''N'') 복잡성은 변환이 온라인(스트리밍 방식으로)으로 계산될 수 있도록 보장한다. 이 속성은 전체 신호에 한 번에 접근해야 하는 FFT와는 뚜렷한 대조를 이룬다. 이는 다중 스케일 변환 및 다차원 변환(예: 2차원 DWT)에도 적용된다.^[25]

7. 다른 변환과의 비교

이산 웨이블릿 변환(DWT)은 이산 푸리에 변환(DFT)과 비교했을 때 시간 정보와 주파수 정보를 모두 제공한다는 장점이 있다. DFT는 신호의 주파수 성분은 알 수 있지만, 해당 주파수가 어느 시간대에 나타나는지는 알 수 없다. 반면 DWT는 다중 해상도 분석을 통해 신호의 국소적인 특징을 효과적으로 파악할 수 있다. 예를 들어 (1,0,0,0)과 같은 단위 임펄스 신호에 대해 DFT와 DWT를 비교하면, DWT는 시간 영역에서 신호가 국소화되어 있음을 보여주는 반면, DFT는 모든 주파수 성분에 걸쳐 에너지가 분산되어 나타난다.

Adam7 알고리즘은 PNG 형식에서 인터레이싱에 사용되는 기술로, Haar 웨이블릿을 이용한 DWT와 유사하게 데이터의 다중 스케일 모델을 제공한다.^[26] 그러나 DWT와 달리 특정 스케일을 가지며, 8x8 블록에서 시작하여 이미지를 다운샘플링하고, decimation(low-pass filter링 및 다운샘플링)을 하지 않는다. 이로 인해 구현은 더 간단하지만 주파수 특성이 떨어지고, 초기 단계에서 픽셀화 현상이 나타나는 아티팩트가 발생한다.^[26]
곱셈 (기하) 이산 웨이블릿 변환은 양의 함수 ''f''와 곱셈적으로 독립적인 양의 노이즈 ''X'' (평균이 1)의 상호작용을 포함하는 관찰 모델 y = fX 에 적용되는 변환 방식이다. 웨이블릿 변환을 $\mathcal{W}$ 로 표현할 때, $fX = f + f(X-1)$ 이므로, 표준 (가산) 이산 웨이블릿 변환 $\mathcal{W}^+$ 는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

: $\mathcal{W}^+ y = \mathcal{W}^+ f + \mathcal{W}^+ f(X-1)$

여기서 ''상세 계수'' $\mathcal{W}^+ f(X-1)$ 는 $f$ 의 영향으로 인해 일반적으로 희소하다고 보기 어렵다. 곱셈 프레임워크에서 웨이블릿 변환은 다음과 같다.

: $\mathcal{W}^\times y = (\mathcal{W}^\times f) \times (\mathcal{W}^\times X)$

웨이블릿을 곱셈 대수에 '임베딩'하면 일반화된 곱셈 근사 및 상세 연산자를 얻을 수 있다. 예를 들어, Haar 웨이블릿의 경우, 표준 $\mathcal{W}^+$ 에서 정규화 계수 $\alpha$ 를 사용한 산술 평균 근사 $c_k = \alpha(y_k + y_{k-1})$ 와 산술 차이 상세 $d_k = \alpha(y_k - y_{k-1})$ 는, $\mathcal{W}^\times$ 를 사용하면 각각 기하 평균 근사 $c_k^* = (y_k \times y_{k-1})^\alpha$ 와 기하 차이 (상세) $d_k^* = (\frac{y_k}{y_{k-1}})^\alpha$ 가 된다.

7. 1. 이산 푸리에 변환 (DFT)

이산 푸리에 변환(DFT)은 주파수 정보를 제공하지만, 시간 정보를 제공하지 않는다. 반면, 이산 웨이블릿 변환(DWT)은 시간과 주파수 정보를 모두 제공한다. DFT는 신호의 국소적인 특징을 파악하기 어렵지만, DWT는 다중 해상도 분석을 통해 신호의 국소적인 특징을 효과적으로 분석할 수 있다.

예를 들어, 단위 임펄스(1,0,0,0)에 대한 DFT 및 DWT를 비교해 보면, DWT는 국소화 특성을, DFT는 주파수 분해 특성을 보인다는 것을 알 수 있다.

7. 2. 곱셈 (기하) 이산 웨이블릿 변환

Adam7 알고리즘은 인터레이싱에 사용되며, PNG 형식에서 사용되는데, 이는 Haar 웨이블릿을 사용한 DWT와 유사한 데이터의 다중 스케일 모델이다. DWT와 달리 특정 스케일을 가지고 있으며, 8×8 블록에서 시작하여 이미지를 다운샘플링하며, decimation(low-pass filter링, 그리고 다운샘플링)하지 않는다. 따라서 구현이 더 간단한 대신 주파수 특성이 떨어지며, 초기에 픽셀화 현상이 나타나는 아티팩트가 발생한다.^[26]

'''곱셈(또는 기하) 이산 웨이블릿 변환'''은 양의 정규 '''함수'''

f

와 곱셈 독립적인 양의 '''노이즈'''

X

의 상호 작용을 포함하는 관찰 모델

{\bf y} = f { {\bf X} }

에 적용되는 변형으로,

\mathbb{E} X = 1

이다. 웨이블릿 변환을

{\cal W}

라고 표시한다.

f { {\bf X} } = f + {f ({\bf X} -1)}

이므로, 표준(가산) 이산 웨이블릿 변환

{\cal W^+}

는 다음과 같다.

:

{\cal W^+} {\bf y} = {\cal W^+} f + {\cal W^+} {f ({\bf X} -1)}

여기서 ''상세 계수''

{\cal W^+} {f ({\bf X} -1)}

는 후자의 표현식에서

f

의 기여로 인해 일반적으로 희소하다고 간주할 수 없다. 곱셈 프레임워크에서 웨이블릿 변환은 다음과 같다.

:

{\cal W^\times} {\bf y} = \left({\cal W^\times} f\right) \times \left({\cal W^\times} { {\bf X}}\right)

웨이블릿을 '''곱셈 대수'''에 '임베딩'하는 것은 일반화된 곱셈 근사 및 상세 연산자를 포함한다. 예를 들어, Haar 웨이블릿의 경우, 정규화 계수

\alpha

까지 표준

{\cal W^+}

근사('''산술 평균''')

c_{k} = \alpha(y_{k} + y_{k-1})

와 상세('''산술 차이''')

d_{k} = \alpha(y_{k} - y_{k-1})

는

{\cal W^\times}

를 사용할 때 각각 '''기하 평균''' 근사

c_{k}^\ast = (y_{k} \times y_{k-1})^\alpha

와 '''기하 차이'''(상세)

d_{k}^\ast = \left(\frac{y_{k}}{y_{k-1}}\right)^\alpha

가 된다.

8. 코드 예시

하르 웨이블릿을 자바로 구현한 예시는 다음과 같다.^[1]^[2]^[3]

```java

public static int[] discreteHaarWaveletTransform(int[] input) {

// 이 함수는 input.length=2^n, n>1이라고 가정합니다.

int[] output = new int[input.length];

for (int length = input.length / 2; ; length = length / 2) {

// length는 output 배열의 작업 영역의 현재 길이입니다.

// length는 배열 크기의 절반에서 시작하여 1이 될 때까지 반복마다 절반으로 줄어듭니다.

for (int i = 0; i < length; ++i) {

int sum = input[i * 2] + input[i * 2 + 1];

int difference = input[i * 2] - input[i * 2 + 1];

output[i] = sum;

output[length + i] = difference;

}

if (length == 1) {

return output;

}

// 다음 반복을 위해 배열을 교체합니다.

System.arraycopy(output, 0, input, 0, length);

}

}

```

하르, 도비시, 코이플렛, 르장드르 웨이블릿을 사용한 1차원 및 2차원 DWT에 대한 완전한 자바 코드는 오픈 소스 프로젝트인 [https://github.com/cscheiblich/JWave JWave]에서 찾을 수 있다.

또한, JPEG 2000 이미지 압축 표준에 사용되는 이산 쌍직교 CDF 9/7 웨이블릿 변환의 빠른 리프팅 구현은 [https://web.archive.org/web/20120305164605/http://www.embl.de/~gpau/misc/dwt97.c 여기] (2012년 3월 5일 보관)에서 찾을 수 있다.

9. 같이 보기

연속 웨이블릿 변환
다중 해상도 분석
JPEG 2000
고속 푸리에 변환

참조

_[1] 논문 Perfect Reconstruction Binomial QMF-Wavelet Transform http://web.njit.edu/[...] Proc. SPIE Visual Communications and Image Processing 1990-09
_[2] 서적 Multiresolution signal decomposition: transforms, subbands, and wavelets Academic Press 1992
_[3] 논문 Filter Banks and Wavelets in Signal Processing: A Critical Review https://web.njit.edu[...] Proc. SPIE Video Communications and PACS for Medical Applications (Invited Paper) 1993-10
_[4] 문서 The dual-tree complex wavelet transform 2005
_[5] 웹사이트 General characteristics and design considerations for temporal subband video coding https://www.itu.int/[...] ITU-T 2003-12-08
_[6] 서적 The Essential Guide to Video Processing https://books.google[...] Academic Press 2009
_[7] 서적 ICASSP-88., International Conference on Acoustics, Speech, and Signal Processing 1988
_[8] 논문 An Efficient QMF-Wavelet Structure http://web.njit.edu/[...] Proc. 1st NJIT Symposium on Wavelets 1990-04
_[9] 간행물 A new, fast, and efficient image codec based on set partitioning in hierarchical trees https://www.research[...] 1996
_[10] 서적 A Wavelet Tour of Signal Processing Academic 1999
_[11] 논문 "Characterization of signals from multiscale edges" 1992-07
_[12] 문서 A generic and robust system for automated patient-specific classification of ECG signals 2009
_[13] Youtube Novel method for stride length estimation with body area network accelerometers https://www.youtube.[...] IEEE BioWireless 2011
_[14] 간행물 Intelligent Machining Monitoring Using Sound Signal Processed With the Wavelet Method and a Self-Organizing Neural Network https://ieeexplore.i[...] 2019-10
_[15] 웹사이트 Wavelet Based Methods in Image Processing http://www.rose-hulm[...] 2017-05-02
_[16] 간행물 Quantization Noise of Multilevel Discrete Wavelet Transform Filters in Image Processing https://doi.org/10.3[...] 2018-11-01
_[17] 서적 Subband and Wavelet Transforms: Design and Applications Kluwer Academic Publishers 1995-10-31
_[18] 서적 Wavelet, Subband and Block Transforms in Communications and Multimedia Kluwer Academic Publishers 2010-12-06
_[19] 논문 Orthogonal Transmultiplexers in Communication: A Review http://web.njit.edu/[...] 1998-04
_[20] 논문 Wavelet Transforms in Signal Processing: A Review of Emerging Applications http://web.njit.edu/[...] Elsevier 2010-03
_[21] 간행물 Image Denoising Using Matched Biorthogonal Wavelets 2008-12-01
_[22] 웹사이트 Thresholds for wavelet 1-D using Birgé-Massart strategy - MATLAB wdcbm https://www.mathwork[...] 2017-05-03
_[23] 웹사이트 how to get SNR for 2 images - MATLAB Answers - MATLAB Central https://www.mathwork[...] 2017-05-10
_[24] 문서 Frequency Domain Combination for Preserving Data in Space Specified Token with High Security https://link.springe[...] Springer, Berlin, Heidelberg 2011
_[25] 간행물 Real-time wavelet transform for infinite image strips https://rdcu.be/b5vd[...] Springer 2020
_[26] 간행물 Wavelet Operators and Multiplicative Observation Models—Application to SAR Image Time-Series Analysis https://hal.archives[...] 2016
_[27] 간행물 Wavelet transforms associated with the index Whittaker transform https://onlinelibrar[...] 2021
_[28] 서적 ウェーブレット10講
_[29] 서적 ウェーヴレットビギナーズガイド―数理科学
_[30] 문서 DiscreteWaveletTransform—Wolfram言語ドキュメント https://reference.wo[...]
_[31] 문서 Single-level discrete 1-D wavelet transform - MATLAB dwt - MathWorks 日本 http://jp.mathworks.[...]

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